Luogu P2279 [HNOI2003]消防局的设立

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  • 设计状态:$f[x][0-4]$表示以x为根节点的子树,能覆盖到向上2到-2个节点需要的最小消防局数量,这样明显$f[x][0]\leq f[x][1]\leq f[x][2] \leq f[x][3] \leq f[x][4]$所以转移的时候尽量选第二维大的转移,能保证最小:
  • $f[x][0] = \sum f[y][4]+1$
  • 如果能延伸到x的祖父节点,那么x必须为消防局,所以答案是x的所有儿子向下2个,及x所有孙子的儿子都能被覆盖即可,因为x为消防局,所以数量加一。
    $$
    f[x][1] = min{\sum_{s\in t且s \not= k} f[s][3]+f[k][0]}
    $$
  • 延伸到x的父亲,只需要保证所有的孙子已经被覆盖,并且其中一个儿子可以向上延伸2个,这就意味着所有的x的儿子和x本身还有x的父亲都可以被这个消防局覆盖。
  • $f[x][2]$同理
  • $f[x][3] = \sum f[y][2]$
  • 能保证x的儿子们都被覆盖,相当于儿子们自己都被覆盖。
  • $f[x][4] = \sum f[y][3]$
  • 同理
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
struct Edge{
int to, nxt;
}e[2009];
int head[1009], tot;
int f[1009][5];

void add(int x, int y){
e[++tot].to = y;
e[tot].nxt = head[x];
head[x] = tot;
}

void dfs(int x, int fa){
for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
int y = e[i].to;
if(y == fa) continue;
dfs(y, x);
f[x][0] += f[y][4];
f[x][3] += f[y][2];
f[x][4] += f[y][3];
}
f[x][0] += 1;
f[x][1] = f[x][2] = 0x3f3f3f3f;
for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
int y = e[i].to;
if(y == fa) continue;
f[x][1] = min(f[x][1], f[x][4] - f[y][3] + f[y][0]);
f[x][2] = min(f[x][2], f[x][3] - f[y][2] + f[y][1]);
}
f[x][1] = min(f[x][1], f[x][0]);
f[x][2] = min(f[x][2], f[x][1]);
f[x][3] = min(f[x][3], f[x][2]);
f[x][4] = min(f[x][4], f[x][3]);
}

int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 2; i <= n; i++){
int y;
scanf("%d", &y);
add(i, y), add(y, i);
}
dfs(1, 0);
printf("%d\n", f[1][2]);
return 0;
}

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